【总结笔记】积分方法

【总结笔记】第三部分：积分方法

本部分涵盖：三角公式速查、分部积分法、有理函数积分流水线、有理分式拆分、三角有理式积分、变限积分（脱壳/阶数/消失的下限/抽象函数）、点火公式与对称区间积分。

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一、六大三角函数与微积分公式速查

1.1 基本三角公式

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=11+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$

$\sin 2x=2\sin x\cos x\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$

降幂公式（积分常用）： ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

1.2 常用导数与积分

函数	导数	积分
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x+C$
$\tan x$	${\sec }^{2}x$	$-\ln
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$\ln
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	$x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

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二、分部积分法

2.1 公式

$\int udv=uv-\int vdu$

2.2 选 $u$ 的黄金口诀：反对幂三指

优先级从高到低（排前面的优先当 $u$）：

1. 反：反三角函数（$\arcsin x$、$\arctan x$）
2. 对：对数函数（$\ln x$）
3. 幂：幂函数（$x^n$）
4. 三：三角函数（$\sin x$、$\cos x$）
5. 指：指数函数（$e^x$）

原因：排前面的函数难积分易求导，当 $u$ 求导；排后面的易积分，当 $dv$。

2.3 三种经典类型

类型一：幂 × 指/三

• 例：$\int x{e}^{x}dx$，令 $u=x$，$dv=e^{x}dx$
• 每次分部积分，幂次降一次，直到消灭为止

类型二：指 × 三（循环型）

• 例：$\int e^x\sin xdx$，两次分部积分后出现原式 $I$，移项求解
• 铁律：两次必须用同一个函数当 $dv$（从一而终），否则互相抵消回原点

类型三：“无中生有”

• 对 $\int \ln xdx$ 或 $\int \arctan xdx$：令 $u=\ln x$，$dv=1\cdot dx$

2.4 注意事项

• 求 $v$ 时不需要加常数 $C$
• 不定积分最后必须加 $+C$
• 多次分部积分要坚持到底

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三、有理函数积分流水线

识别：被积函数为 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，分子分母都是多项式。

3.1 四步流水线

Step 1：分母因式分解（分解到实数域不可再因子）

因式类型	设项形式
一次一重 $(ax+b)$	$\frac{A}{ax+b}$
一次 $k$ 重 $(ax+b{)}^k$	$\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(ax+b{)}^k}$
二次不可约 $(p{x}^2+qx+r)$，$\Delta <0$	$\frac{Bx+C}{p{x}^2+qx+r}$

Step 2：求待定系数（混合法：赋值+比较系数）

• 遮挡法（最快）：遮住 $(x-a)$ 这一因式，代入 $x=a$ 直接算出对应系数
• 再代 $x=0,1$ 等简单值补齐其余系数

Step 3：逐项积分

$\int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C$

$\int \frac{1}{(ax+b{)}^k}dx=\frac{1}{a(1-k)(ax+b{)}^{k-1}}+C(k\ne 1)$

对二次不可约项 $\frac{Bx+C}{p{x}^2+qx+r}$：分子拆成”分母导数 + 常数”

• 第一部分：凑微分 $\Rightarrow \ln |p{x}^2+qx+r|$
• 第二部分：配方 $\Rightarrow \frac{1}{a}\arctan \frac{x+m}{a}$

Step 4：合并加常数 $C$

3.2 高频公式（填空题直接用）

$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{(x^2+a^2{)}^2}dx=\frac{1}{2a^2}\left(\frac{x}{x^2+a^2}+\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}\right)+C$

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四、有理分式拆分（部分分式法要点）

何时用：分母次数 $\ge$ 分子次数时（若分母次数低，先做多项式除法）。

检验：各项系数求出后，两边通分验算是否一致。

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五、三角有理式的积分（万能代换）

识别：被积函数形如 $R(\sin x,\cos x)$，即 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的有理式。

万能代换：令 $t=\tan \frac{x}{2}$，则

$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$

注意：万能代换计算量大，若被积函数有特殊对称性（如只含 ${\sin }^{2}x$、${\cos }^{2}x$），优先用降幂公式或凑微分。

特殊情形：

• $\int R(\sin x)\cos xdx$：直接令 $t=\sin x$（凑微分）
• $\int R(\cos x)\sin xdx$：直接令 $t=\cos x$

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六、变限积分——四大核心考点

6.1 莱布尼茨公式（变限积分求导）

$\frac{d}{dx}{\int }_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt=f(b(x))\cdot b^{\prime }(x)-f(a(x))\cdot a^{\prime }(x)$

上下限都是变量时：上限求导减下限求导，乘以各自的导数。

6.2 变限积分的阶数判定

判断 ${\int }_0^{u(x)}f(t)dt$ 是几阶无穷小（$x\to 0$）：

• 用洛必达：分子莱布尼茨求导 $\Rightarrow f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$
• 若结果非零，则积分与 $x^n$ 同阶（$n$ 由 $u(x)$ 的阶数决定）

6.3 “消失的下限”（无穷小比较）

$\text{若}{\int }_0^{x}f(t)dt=o(x^n)，\text{则}f(0)=f^{\prime }(0)=\cdots =f^{(n-1)}(0)=0$

反向用：若已知 $f(0)=f^{\prime }(0)=0$，则 ${\int }_0^{x}f(t)dt=o(x^2)$。

6.4 变限积分脱壳术（等价替换）

对复杂变限积分 ${\int }_0^{u(x)}f(t)dt$，当 $x\to 0$： ${\int }_0^{u(x)}f(t)dt\sim f(0)\cdot u(x)\text{（当 }f(0)\ne 0\text{）}$

若 $f(0)=0$，需展开更高阶或洛必达。

6.5 抽象函数与变限积分

关键：抽象函数 $f(x)$

• 连续可导：可用洛必达（因为导数连续）
• 仅可导：不能用洛必达（导数不一定连续），只能用导数定义

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七、点火公式（Wallis 公式）与对称区间积分

7.1 点火公式

${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2}& n\text{ 为正偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}& n\text{ 为正奇数}\end{array}$

其中 $n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdots$（双阶乘）

常用值：

• ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx=\frac{\pi }{4}$
• ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{3}xdx=\frac{2}{3}$

7.2 对称区间积分

${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}2{\int }_0^{a}f(x)dx& f(x)\text{ 为偶函数}\\ 0& f(x)\text{ 为奇函数}\end{array}$

奇偶性判断口诀（内偶则偶，内奇同外）：

• $f(-x)=f(x)$ → 偶函数
• $f(-x)=-f(x)$ → 奇函数
• 求导：偶函数导数为奇函数；奇函数导数为偶函数

对称区间做法：先判奇偶，奇函数直接写 $=0$，节省大量计算时间。

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八、高频易错汇总

错误	正确做法
分部积分选 $u$ 选错	口诀”反对幂三指”，前面的当 $u$
循环型分部积分两次选不同 $dv$	必须从一而终，选同一类函数当 $dv$
变限积分上下限都变，只求导一个	莱布尼茨公式：上限-下限，各乘导数
对称区间忘判奇偶	先判奇偶，节省时间
点火公式偶次忘乘 $\pi /2$	偶次有 $\pi /2$，奇次没有
有理函数积分不先假分式化	分子次数 $\ge$ 分母次数时，先做多项式除法
遮挡法漏掉二次因式系数	遮挡法只适合一次因式系数，二次系数另算