六大三角函数关系与微积分公式全景指南

是什么

三角函数是考研高等数学（极限、微分、积分）的基石。六大三角函数包括：正弦 $\sin x$、余弦 $\cos x$、正切 $\tan x$、余切 $\cot x$、正割 $\sec x$、余割 $\csc x$。

掌握它们的核心在于抓住图形结构（六边形）和微积分导数/原函数的对称性，从而避免死记硬背。

公式 & 适用条件

1. 六大三角函数的定义与基本倒数/商关系

$\begin{array}{rl}\tan x& =\frac{\sin x}{\cos x},\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}\\ \sec x& =\frac{1}{\cos x},\csc x=\frac{1}{\sin x}\end{array}$

• 适用条件：基础代换，分母不能为 $0$。

2. 平方关系（恒等式）

$\begin{array}{rl}{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x& =1\\ 1+{\tan }^{2}x& ={\sec }^{2}x\\ 1+{\cot }^{2}x& ={\csc }^{2}x\end{array}$

• 适用条件：极高频用于根号开方降次（如 $\sqrt{1+x^2}$ 换元 $x=\tan t$）或微积分中的被积函数变形。

3. 和差化积与倍角公式（降次/升次）

$\begin{array}{rl}\sin (2x)& =2\sin x\cos x\\ \cos (2x)& ={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x\\ {\sin }^{2}x& =\frac{1-\cos (2x)}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2}\end{array}$

• 适用条件：积分中遇到 ${\sin }^{2}x$ 或 ${\cos }^{2}x$ 时，必须先用二倍角降次公式降为一次项再积分。

4. 导数与不定积分（原函数）对应表

函数 f(x)	导数 f′(x)	不定积分 ∫f(x)dx
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x+C$
$\tan x$	${\sec }^{2}x$	$-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$
$\cot x$	$-{\csc }^{2}x$	$\ln |\sin x|+C$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$\ln |\sec x+\tan x|+C$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	$-\ln |\csc x+\cot x|+C=\ln |\csc x-\cot x|+C$

• 适用条件：考研微积分运算的底层记忆库。

怎么用（几何记忆法：杨辉三角/正六边形法则）

不需要死记硬背 20 多个公式，画出正六边形（三角八卦图）即可推导出所有基本关系：

Plaintext

       sin x  ────  cos x
      /     \      /     \
  tan x  ───  1  ───  cot x
      \     /      \     /
       sec x  ────  csc x

1. 平方关系（看三个倒立的“阴影三角形”）

• 六边形中，任意一个三角形“顶上两角的平方和 = 底角平方”：

  1. 上方三角形：${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1^2=1$

  2. 左下三角形：${\tan }^{2}x+1^2={\sec }^{2}x$

  3. 右下三角形：$1^2+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$

2. 倒数关系（看对角线）

• 穿过中心 $1$ 的对角线两端互为倒数：

  1. $\sin x\cdot \csc x=1⟹\csc x=\frac{1}{\sin x}$

  2. $\cos x\cdot \sec x=1⟹\sec x=\frac{1}{\cos x}$

  3. $\tan x\cdot \cot x=1⟹\cot x=\frac{1}{\tan x}$

3. 商的关系（顺/逆时针）

• 任意顶点的值，等于相邻两个顶点的乘积/比值：

  1. $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

  2. $\sin x=\tan x\cdot \cos x$

4. 导数与符号记忆口诀

• “正项为正，余项带负”：

  • 凡是求 “余” 字头（带 co- 的函数：$\cos x,\cot x,\csc x$）的导数，结果==一律带负号 $-$==！

• “正切绑正割，余切绑余割”：

  • $\tan x$ 的导数是 ${\sec }^{2}x$，$\sec x$ 的导数是自身乘 $\tan x$（两兄弟绑定）。

  • $\cot x$ 的导数是 $-{\csc }^{2}x$，$\csc x$ 的导数是自身乘 $-\cot x$。

例题

• 题目：计算定积分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}\mathrm{d}x$，其中 $y=\ln (\cos x)$。

• 解题过程：

  1. 求导 $y^{\prime }$：

     $y^{\prime }=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$

  2. 代入根号并利用平方关系简化：

     $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\sqrt{1+(-\tan x{)}^2}=\sqrt{1+{\tan }^{2}x}=\sqrt{{\sec }^{2}x}$

     在 $x\in \left[0,\frac{\pi }{6}\right]$ 上，$\sec x>0$，故被积函数为 $\sec x$。

  3. 套用 $\sec x$ 的原函数公式：

     $s={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x||{}_0^{\frac{\pi }{6}}$

  4. 代入上下限：

     • 上限 $x=\frac{\pi }{6}$：$\sec \frac{\pi }{6}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ $⟹\sec \frac{\pi }{6}+\tan \frac{\pi }{6}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

     • 下限 $x=0$：$\sec 0=1$，$\tan 0=0$ $⟹\ln |1+0|=0$

       $s=\ln \sqrt{3}-0=\frac{1}{2}\ln 3$

• 结论：积分结果为 $\frac{1}{2}\ln 3$。

⚠️ 易错点

Warning

• $\sec x$ 与 $\csc x$ 的积分混淆：

  • $\int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

  • $\int \csc x\mathrm{d}x=-\ln |\csc x+\cot x|+C=\ln |\csc x-\cot x|+C$

  • 记忆小坑：$\sec x$ 里面是加号，$\csc x$ 写成 $-\ln$ 时里面也是加号。

• 开根号忘记加绝对值：

  • $\sqrt{1+{\tan }^{2}x}=\sqrt{{\sec }^{2}x}=|\sec x|$。只有当确定 $x$ 的范围使得 $\sec x>0$ 时才能直接脱掉绝对值，否则容易把积分结果算错。

速记

• 平方换元口诀：“一加坦切方得正割方”（$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$）。

• 导数符号口诀：“带 co 导数必带负，正切正割常绑组”。