分段函数的变上限积分与性态判定

是什么

变上限积分函数 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 的连续性与可导性，直接取决于被积函数 $f(t)$ 的积分性质与极限性质。

公式 & 适用条件

变上限积分的连续性定理

$f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上可积}⟹F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\text{ 在 }[a,b]\text{ 上处处连续}$

• 适用条件：$f(x)$ 在闭区间上有界且只有有限个间断点（即可积）。

• 不满足：若 $f(x)$ 包含无穷间断点导致反常积分发散，则该积分无定义或失去一般连续性结论。

变上限积分在分段点的单侧导数结论

$F_{-}^{\prime }(x_0)=f(x_0^{-}),F_{+}^{\prime }(x_0)=f(x_0^{+})$

• 适用条件：$f(x)$ 在 $x_0$ 处的左右极限 $f(x_0^{-})$ 和 $f(x_0^{+})$ 均存在（即 $x_0$ 为连续点或第一类间断点）。

• 推论：

  • 若 $f(x_0^{-})=f(x_0^{+})$，则 $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$（可导）。

  • 若 $f(x_0^{-})\ne f(x_0^{+})$（跳跃间断点），则左右导数不相等，==$F(x)$ 在 $x_0$ 处必连续但不可导==。

间断点分类标准

设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点：

1. 第一类间断点（左右极限均存在）：

   • 跳跃间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$

   • 可去间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\ne f(x_0)$（或 $f(x_0)$ 无定义）

2. 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）：

   • 无穷间断点：至少有一侧极限为 $\infty$

   • 振荡间断点：在趋于点时函数值剧烈振荡无极限（如 $\sin \frac{1}{x}$）

怎么用（解题步骤）

方法一：定理秒杀法（选择题首选）

• 使用条件：

  1. 仅需定性判定 $F(x)$ 在分界点处的连续性与可导性，无需给出 $F(x)$ 的具体函数表达式；

  2. 被积函数 $f(x)$ 在分界点处的==单侧极限 $f(x_0^{-})$ 与 $f(x_0^{+})$ 必须均存在且有限==（即分界点是连续点或第一类间断点）。

• 解题步骤：

  1. 判连续：观察 $f(x)$ 的间断点类型。只要仅有有限个第一类间断点（即可积），==直接断定 $F(x)$ 全程连续==，立即排除跳跃/可去等间断点选项。

  2. 判可导：直接计算分段点处的单侧极限 $f(x_0^{-})$ 与 $f(x_0^{+})$。

     • 若 $f(x_0^{-})\ne f(x_0^{+})$，则 $F_{-}^{\prime }(x_0)\ne F_{+}^{\prime }(x_0)$，直接断定 $F(x)$ 连续但不可导（尖点）。

     • 若 $f(x_0^{-})=f(x_0^{+})$，则左右导数相等，$F(x)$ 可导。

方法二：分段解析式法（大题/分析首选）

• 使用条件：

  1. 题目明确要求==求解变上限积分 $F(x)$ 的具体解析式==，或需要利用 $F(x)$ 进行后续计算（如积分、极值、图像绘制）；

  2. 被积函数 $f(x)$ 在各个子区间上的原函数可求（能够写出初等原函数）。

• 解题步骤：

  1. 首段积分：当自变量 $x$ 落在初始区间时，直接代入首段 $f(t)$ 计算 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$。

  2. 跨段积分：当自变量 $x$ 跨越分界点时，必须利用区间可加性拆分积分：

     $F(x)={\int }_{\text{起点}}^{\text{分界点}}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_{\text{分界点}}^{x}f(t)\mathrm{d}t$

     其中前一段为定积分常数（历史累积基数），后一段按当前区间的 $f(t)$ 积分。

  3. 分段点检验：

     • 代入分界点求左右极限及函数值，验证连续性；

     • 对分段表达式求导，验证左右导数是否相等以判定可导性。

例题

• 题目：设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x,& 0⩽x<\pi \\ 2,& \pi ⩽x⩽2\pi \end{array}$，$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则（ ）

  (A) $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的跳跃间断点

  (B) $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的可去间断点

  (C) $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处连续但不可导

  (D) $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处可导

• 解题过程：

解法一：结论判定法

1. 连续性判定：$f(x)$ 在 $[0,2\pi ]$ 上分段连续，在 $x=\pi$ 处为第一类跳跃间断点，满足闭区间上有界且只有有限个间断点，故 $f(x)$ 可积。根据可积函数的变上限积分必连续，得到 $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处连续，排除 (A)、(B)。

2. 可导性判定：

   • 左极限：$f({\pi }^{-})=\underset{x\to {\pi }^{-}}{\lim }\sin x=0$

   • 右极限：$f({\pi }^{+})=\underset{x\to {\pi }^{+}}{\lim }2=2$

     根据单侧导数结论 $F_{-}^{\prime }(x_0)=f(x_0^{-})$ 和 $F_{+}^{\prime }(x_0)=f(x_0^{+})$，可得 $F_{-}^{\prime }(\pi )=0\ne F_{+}^{\prime }(\pi )=2$。左导数不等于右导数，故 $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处不可导。

解法二：求分段表达式法

1. 当 $0⩽x<\pi$ 时：

   $F(x)={\int }_0^x\sin t\mathrm{d}t=[-\cos t{]}_0^x=1-\cos x$

2. 当 $\pi ⩽x⩽2\pi$ 时，上限跨越分界点 $\pi$，拆分积分：

   $F(x)={\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t+{\int }_{\pi }^{x}2\mathrm{d}t$

   分别计算：

   • 累积基数：${\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t=[-\cos t{]}_0^{\pi }=1-(-1)=2$

   • 当前段积分：${\int }_{\pi }^{x}2\mathrm{d}t=2(x-\pi )=2x-2\pi$

     合并得：$F(x)=2+2x-2\pi =2x-2\pi +2$

3. 综合表达式：

   $F(x)=\{\begin{array}{ll}1-\cos x,& 0⩽x<\pi \\ 2x-2\pi +2,& \pi ⩽x⩽2\pi \end{array}$

4. 验证端点：

   • $\underset{x\to {\pi }^{-}}{\lim }F(x)=1-\cos \pi =2$，$F(\pi )=2\pi -2\pi +2=2$，极限值等于函数值，连续性成立。

   • $F_{-}^{\prime }(x)=\sin x⟹F_{-}^{\prime }(\pi )=0$；$F_{+}^{\prime }(x)=2⟹F_{+}^{\prime }(\pi )=2$。左右导数不等，可导性不成立。

• 结论：选 (C)

变上限积分 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 的积分下限始终固定为 $0$。这意味着无论自变量 $x$ 跑到哪里，积分计算都必须从起点 $0$ 出发，一步步“走”到当前位置 $x$。

具体拆分方法（三步法）

当自变量 $x$ 落在第二段区间 $[\pi ,2\pi ]$ 时：

1. 锚定起点与终点，以分界点为“中转站”拆分区间

整个积分路径是从 $0$ 到 $x$。由于被积函数在 $t=\pi$ 处发生了改变，必须把路径在分段点处截断：

${\int }_0^x={\int }_0^{\pi }+{\int }_{\pi }^x$

写成完整积分等式：

$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{\pi }f(t)\mathrm{d}t+{\int }_{\pi }^{x}f(t)\mathrm{d}t$

2. 分别把对应区间内的表达式代入

• 在第一段区间 $[0,\pi ]$ 内，$t<\pi$，此时 $f(t)=\sin t$。

• 在第二段区间 $[\pi ,x]$ 内（因为 $\pi ⩽t⩽x$），此时 $f(t)=2$。

代入后得到：

$F(x)=\underset{\text{前段累积基数（纯常数）}}{\underbrace{{\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t}}+\underset{\text{当前段增量（关于 }x\text{ 的式子）}}{\underbrace{{\int }_{\pi }^{x}2\mathrm{d}t}}$

3. 分别计算并求和

• 第一部分（走过的历史路程/面积）：

  ${\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t=[-\cos t{]}_0^{\pi }=-\cos \pi -(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2$

  这是一个固定的常数，代表自变量从 $0$ 走到 $\pi$ 时已经累积的面积。

• 第二部分（在当前区间新走的路程/面积）：

  ${\int }_{\pi }^{x}2\mathrm{d}t=[2t{]}_{\pi }^x=2x-2\pi$

• 最终拼接（两部分相加）：

  $F(x)=2+(2x-2\pi )=2x-2\pi +2$

为什么不能直接写 ${\int }_{\pi }^{x}2\mathrm{d}t$？

• 变上限积分的本质是从原点 $0$ 开始累加的“位移”或“总面积”。

• 如果直接写 $F(x)={\int }_{\pi }^{x}2\mathrm{d}t$，相当于把积分下限擅自改成了 $\pi$。

• 这样算出的函数满足的是 $F(\pi )={\int }_{\pi }^{\pi }2\mathrm{d}t=0$；但实际上，从 $0$ 走到 $\pi$ 这段路程中，函数已经积累了大小为 $2$ 的值。把下限写成 $\pi$，等于把前面积攒的底数直接扔掉了。

通用推广公式

若 $f(x)$ 在点 $c$ 处分段：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x),& a⩽x<c\\ h(x),& c⩽x⩽b\end{array}$

求 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 的通用拆法：

• 当 $a⩽x<c$ 时：

  $F(x)={\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t$

• 当 $c⩽x⩽b$ 时：

  $F(x)={\int }_a^{c}g(t)\mathrm{d}t+{\int }_c^{x}h(t)\mathrm{d}t$

  (若有多个分界点 $c_1,c_2,\dots$，以此类推，每跨越一个区间就加上前面区间的完整定积分)

⚠️ 易错点

Warning

• 跨段积分漏掉常数基数：

  • 错误做法：求第二段时直接写 $F(x)={\int }_{\pi }^{x}2\mathrm{d}t=2x-2\pi$。导致算出的表达式在 $x=\pi$ 处为 $0$，误判函数不连续。

  • 正确做法：必须加上区间前段的累积贡献 ${\int }_0^{\pi }f(t)\mathrm{d}t$。变上限积分本质是面积的累加，下限为 $0$ 时前段的“累积存量”必须保留。

• 混淆导数原函数与变上限积分：

  • 原函数存在定理要求被积函数必须连续（含跳跃间断点则无原函数）。

  • 但变上限积分只要被积函数可积（允许有限个第一类间断点）即可存在，且一旦存在就必然连续。

速记

积出来必降一阶糙：被积跳跃，积分连续出尖角。