【总结笔记】极限与连续

【总结笔记】第一部分：极限与连续

本部分涵盖：指数对数运算、极限定义法、等价无穷小与泰勒公式、间断点分类、数列收敛、零点定理与递推数列。

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一、基础工具：指数与对数运算法则

运算	指数 $e^x$ 世界	对数 $\ln x$ 世界
乘除	✅ 可化简：$e^a\cdot e^b=e^{a+b}$；$e^a/e^b=e^{a-b}$	❌ 禁区（除了 $\ln a^b=b\ln a$）
加减	❌ 禁区！只能提公因式：$e^a-e^b=e^b(e^{a-b}-1)$	✅ 可化简：$\ln a+\ln b=\ln (ab)$；$\ln a-\ln b=\ln (a/b)$

核心口诀：指数和对数是逆运算，规律恰好相反——一个化乘除，另一个化加减。

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二、极限定义法（$\epsilon$-$X$ 语言）

何时用：题目要求”用定义证明极限”，或已知 $\lim F(x)=A$ 作为条件。

核心翻译模板（$x\to +\infty$ 型）：

$\forall \epsilon >0,\exists X>0,\text{当}x>X\text{ 时，恒有 }|F(x)-A|<\epsilon$

$x\to x_0$ 型：将 "$x>X$" 换成 "$0<|x-x_0|<\delta$"

解题四步：找 $F(x)$ → 找目标值 $A$ → 找 $\epsilon$ 的具体表达式（验证 $>0$）→ 代入 $|F(x)-A|<\epsilon$ 化简

高频易错：取特殊 $\epsilon$ 值前必须先写”因为…所以该值 $>0$”！

看到”一阶连续导数”立刻写出： $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(\xi )(x-x_0)$ ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_0)\Rightarrow \text{局部保号性}$

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三、等价无穷小与泰勒公式

3.1 等价无穷小速查（$x\to 0$ 时）

函数	等价无穷小
$\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x$	$\sim x$
$\ln (1+x),e^x-1$	$\sim x$
$a^x-1$	$\sim x\ln a$
$(1+x{)}^{\alpha }-1$	$\sim \alpha x$
$1-\cos x,\sec x-1$	$\sim \frac{1}{2}{x}^2$
$t-\ln (1+t)$（常考！）	$\sim \frac{1}{2}{t}^2$

3.2 使用原则：乘除可换，加减慎用

• ✅ 乘除法：直接替换，放心用
• ❌ 加减法：主要项会消（如 $x-\sin x$），必须改用泰勒公式

泰勒公式的使用前提：括号里的变量趋于 0！（不是整个函数趋于 0）

• 若 $x\to a$，令 $t=x-a$ 换元
• 若 $x\to \infty$，令 $t=1/x$ 换元

3.3 必背8个麦克劳林公式

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)\text{（奇次项，正负交替）}$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\text{（偶次项，正负交替）}$

$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\text{（和tan符号相反，无阶乘！）}$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)\text{（无阶乘，正负交替）}$

$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)\text{（常用！）}$

展开阶数口诀：分母定阶，分子同阶（看分母等价于 $x^k$，分子展到含 $x^k$ 为止）

3.4 变限积分的等价无穷小（必掌握）

求 ${\int }_0^{u(x)}f(t)dt$（$x\to 0$）的等价：

1. 构造 $\frac{{\int }_0^{u(x)}f(t)dt}{x^n}$ 为 $0/0$ 型
2. 洛必达：分子用莱布尼茨公式求导 $\Rightarrow f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$
3. 得极限 $L$ 后：${\int }_0^{u(x)}f(t)dt\sim L\cdot x^n$

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四、函数间断点分类

步骤：找可疑点（分母=0、分段点）→ 判类型

类型	条件	归属
可去间断点	左右极限存在且相等，但≠函数值	第一类
跳跃间断点	左右极限存在但不相等	第一类
无穷间断点	至少一侧极限为 $\pm \infty$	第二类
振荡间断点	极限振荡不存在	第二类

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五、数列极限的存在性

5.1 单调有界准则（最常用）

单调递增+有上界 → 收敛；单调递减+有下界 → 收敛

证单调性四招：

1. 作差：$x_{n+1}-x_n$ 判正负
2. 作比：$x_{n+1}/x_n$ 与 1 比（正项列）
3. 函数法：分析 $f(x_n)-x_n$ 的符号
4. 数学归纳法

求极限值：设 $\lim x_n=A$，递推式两边取极限，利用连续函数可穿透极限符号解出 $A$。

记住：$x_n$、$x_{n+1}$、$x_{n+k}$ 的极限都是同一个 $A$！数列极限不能用洛必达！

5.2 “存在+存在”封闭性

• A + A = A（良好性质保持）
• A + B = B（良好被不良”感染”）
• B + B = 不一定（可能抵消变良好）

最强反例：$f+(-f)=0$

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六、零点定理与递推数列收敛（综合大题模板）

第一问：证明”有唯一实根”

Step 1 证连续（若题给 $|f(x)-f(y)|<|x-y|$，用夹逼证）

Step 2 证存在（零点定理）：

• 构造 $F(x)=f(x)-g(x)$
• 验证 $F(a)\cdot F(b)<0$（异号）
• 结论：$\exists \xi \in (a,b)$，$F(\xi )=0$

Step 3 证唯一（反证法）：假设两根 ${\xi }_1\ne {\xi }_2$，代入已知条件推矛盾

第二问：证明”递推数列收敛于该根 $\xi$”

1. 对已知不等式展开绝对值（$|A|<B\Rightarrow -B<A<B$），得单调性和有界性
2. 数学归纳法证单调有界
3. 单调有界准则 → 设极限 $A$
4. 递推式两边取极限，解出 $A=\xi$

拉格朗日处理极限（见到”同构函数差”立刻用）

$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)$

四步：找母函数 → 定区间（小在左）→ 求导替换 → 夹逼确定 $\xi$ 的极限

常见信号：$2^{1/n}-2^{1/(n+1)}$、$\arctan (n+1)-\arctan n$、$\ln (n+1)-\ln n$

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七、高频易错汇总

错误	正确做法
$e^a-e^b=e^{a-b}$	不能化简！提公因式：$e^b(e^{a-b}-1)$
加减法直接用等价无穷小	主项消失，必须上泰勒
泰勒公式不换元直接用	先验证括号内变量是否趋于 0
数列极限用洛必达	只能用等价/夹逼/递推取极限
零点定理不验证连续性	连续是铁律前提，不可省
极限穿透不验证连续	只有已证连续，$\lim f(x_n)=f(\lim x_n)$ 才成立