存在+存在 类线性运算封闭性规律总结

内偶则偶，内奇同外 设定 $A$ 为具备某种“良好性质”（如存在、连续、收敛等）

设定 $B$ 为“不具备该性质”（如不存在、间断、发散等）

• A + A = A （良好性质相加，性质保留）

• A + B = B （良好与不良相加，性质被破坏）

• B + B = 不一定 （不良与不良相加，可能产生抵消，负负不一定得正）

【一、 高等数学部分】

1. 极限的运算

• 存在 + 存在 = 存在

• 存在 + 不存在 = 不存在

• 不存在 + 不存在 = 不一定

2. 函数的连续性

• 连续 + 连续 = 连续

• 连续 + 间断 = 间断

• 间断 + 间断 = 不一定

3. 函数的可导性

• 可导 + 可导 = 可导

• 可导 + 不可导 = 不可导

• 不可导 + 不可导 = 不一定

4. 无穷级数 & 反常积分

• 收敛 + 收敛 = 收敛

• 收敛 + 发散 = 发散

• 发散 + 发散 = 不一定

5. 函数的周期性

• 周期 + 周期 = 周期（注：需满足两函数周期可公度，即周期比值为有理数）

• 周期 + 非周期 = 非周期

• 非周期 + 非周期 = 不一定

6. 函数的奇偶性（特例变形）

• 奇 + 奇 = 奇；偶 + 偶 = 偶

• 奇 + 偶 = 非奇非偶（非零函数情况下）

• 非奇非偶 + 非奇非偶 = 不一定 求导：

偶＋偶次导＝偶函数；偶＋奇词导＝奇函数；

奇＋偶次导＝奇函数；奇＋奇词导＝偶函数； 【二、 线性代数部分】

（主要体现在矩阵的结构性质上）

1. 对称矩阵

• 对称 + 对称 = 对称

• 对称 + 非对称 = 非对称

• 非对称 + 非对称 = 不一定

2. 反对称矩阵

• 反对称 + 反对称 = 反对称

• 反对称 + 非反对称 = 非反对称

• 非反对称 + 非反对称 = 不一定

3. 对角矩阵

• 对角阵 + 对角阵 = 对角阵

• 对角阵 + 非对角阵 = 非对角阵

• 非对角阵 + 非对角阵 = 不一定

4. 三角矩阵

• 上(下)三角 + 上(下)三角 = 上(下)三角

• 三角阵 + 非三角阵 = 非三角阵

• 非三角阵 + 非三角阵 = 不一定

⚠️ 线代避坑绝对禁区：

矩阵的可逆性（满秩）绝对不适用此规律！

可逆 + 可逆 = 不一定（如 $E+(-E)=0$ 变不可逆）；可逆 + 不可逆 = 也不一定。

【三、 考题秒杀与避坑指南】

• 秒杀 A + B = B：

  看到（收敛 + 发散）、（连续 + 间断）、（可导 + 不可导），直接选结果为发散/间断/不可导，无需推导。（底层逻辑：反证法）。

• 警惕 B + B = 不一定：

  遇到两个“不存在”或“发散”相加减，考研最爱在这里挖坑。第一反应是找反例。

  最强反例构造法： 令 $f(x)=B$, $g(x)=-B$，二者相加直接抵消变为 $0$（瞬间变成极其良好的 $A$）。

基本知识： 1.绝对值：==$|A|<B$ 等价于 $-B<A<B$== 还有|A| >＝0；

2.连续函数的一个极其重要的性质就是“极限符号可以穿透到函数里面去”。 即：${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=f\left({\lim }_{n\to \infty }{x}_n\right)=f(A)$。

三角公式

==|A+B| ⇐ |A| + |B| (因为A+B可能会抵消，有消耗；而|A| + |B|不会有消耗)==

进阶版

f(x)在闭区间上连续 ---⇒ 有界 f(x)可积 —⇒ 有界 极限存在—⇒局部有界