三角有理式的积分法

是什么

三角有理式指的是被积函数形如 $\int R(\sin x,\cos x)dx$ 的积分，其中 $R(u,v)$ 是关于 $u$ 和 $v$ 的有理函数组合。

公式 & 适用条件

1. 全角换元法（常用三种情况）

• ==第一种情况：关于 $\sin x$ 奇函数==

  $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$

  做法：令 $t=\cos x$（即凑微分 $d(\cos x)=-\sin xdx$）。 不满足时：若改变 $\sin x$ 正负号后整体不变，则不能令 $t=\cos x$。

• ==第二种情况：关于 $\cos x$ 奇函数==

  $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$

  做法：令 $t=\sin x$（即凑微分 $d(\sin x)=\cos xdx$）。 不满足时：若改变 $\cos x$ 正负号后整体不变，则不能令 $t=\sin x$。

• ==第三种情况：关于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 为整体偶函数==

  $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$

  做法：令 $t=\tan x$。 此时相关替换公式为：

  $\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},dx=\frac{1}{1+t^2}dt$

2. 半角换元法（万能公式）

• 万能公式

  $t=\tan \frac{x}{2}$

  配合公式：

  $\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$

  适用条件：当不满足全角换元法的前三种特殊情况时使用。 注意事项：计算量通常极大，仅作为“最后兜底手段”，优先尝试全角换元。

怎么用（解题步骤）

1. 判断奇偶性：

   • 将被积函数中的 $\sin x$ 替换为 $-\sin x$，看整体是否变号 $\to$ 若变号，令 ==$t=\cos x$==。

   • 将被积函数中的 $\cos x$ 替换为 $-\cos x$，看整体是否变号 $\to$ 若变号，令 ==$t=\sin x$==。

   • 将 $\sin x,\cos x$ 同时替换为 $-\sin x,-\cos x$，看整体是否完全不变 $\to$ 若不变，令 ==$t=\tan x$==。

2. 万能公式兜底：若上述三者都不满足，再使用万能公式 $t=\tan \frac{x}{2}$。

3. 求解有理函数：换元后转化为普通的代数有理函数积分求解，最后代回原变量 $x$。

例题

• 题目：计算积分 $\int \frac{{\sin }^{5}x}{{\cos }^{4}x}dx$

• 解题过程：

  1. 条件检验：令 $R(\sin x,\cos x)=\frac{{\sin }^{5}x}{{\cos }^{4}x}$。 将 $\sin x$ 换为 $-\sin x$ 得 $R(-\sin x,\cos x)=\frac{(-\sin x{)}^5}{{\cos }^{4}x}=-R(\sin x,\cos x)$，满足第一种情况。

  2. 换元与凑微分：令 $t=\cos x$，则 $dt=-\sin xdx$，原式变形为：

     $\int \frac{{\sin }^{4}x}{{\cos }^{4}x}(\sin xdx)=\int \frac{(1-{\cos }^{2}x{)}^2}{{\cos }^{4}x}(-d\cos x)$

  3. 计算积分：

     $-\int \frac{(1-t^2{)}^2}{t^4}dt=-\int \frac{1-2t^2+t^4}{t^4}dt=-\int (t^{-4}-2t^{-2}+1)dt$

     $=\frac{1}{3}{t}^{-3}-2t^{-1}-t+C=\frac{1}{3{\cos }^{3}x}-\frac{2}{\cos x}-\cos x+C$

• 结论：$-\cos x-2\sec x+\frac{1}{3}{\sec }^{3}x+C$

⚠️ 易错点

Warning

• 凑微分漏负号：在满足第一种情况令 $t=\cos x$ 凑微分时，注意 $d(\cos x)=-\sin xdx$，极其容易遗漏负号。

• 混淆奇偶性判断目标：判断奇偶性是对整个函数表达式做符号替换测试，而不是单独看 $\sin x$ 或 $\cos x$ 本身的奇偶性。

• 滥用万能公式：万能公式虽然“万能”，但极易产生高次分式导致计算繁琐失分，能用全角换元（前三种情况）时绝不优先使用万能公式。

速记

• 奇正偶切，变号凑微：

  • $\sin x$ 变号奇数次方 $\to$ 凑 $d(\cos x)$（令 $t=\cos x$）

  • $\cos x$ 变号奇数次方 $\to$ 凑 $d(\sin x)$（令 $t=\sin x$）

  • 同变符号整体不变 $\to$ 换 $t=\tan x$