分部积分法 (Integration by Parts)

分部积分法是微积分中处理两个不同类型函数相乘求积分的最强核武器。它的核心思想不是直接解出答案，而是“转移矛盾”——把一个难求的积分转化为一个容易求的积分。

一、 公式的诞生与底层逻辑

1. 核心公式

$\int udv=uv-\int vdu$

2. 公式怎么来的？（乘积求导逆运算）

分部积分法本质上是导数乘法法则的逆运算。

根据两个函数乘积的导数公式：

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

对等式两边同时求不定积分：

$uv=\int u^{\prime }vdx+\int u{v}^{\prime }dx$

写成微分形式就是：

$uv=\int vdu+\int udv$

将其移项，就得到了分部积分公式：$\int udv=uv-\int vdu$。

3. 直观理解

你面对的敌人是 $\int udv$（很难直接积出来）。

通过公式，你得到了 $uv$（已经从积分号里逃出来了，不需要再积），剩下的敌人变成了 $\int vdu$。

只要新敌人 $\int vdu$ 比老敌人 $\int udv$ 容易对付，这个公式就起到了“降维打击”的作用。

二、 核心战略：如何选择 $u$ 和 $dv$？

使用分部积分法，唯一的难点就是：谁当 $u$，谁当 $dv$？

如果选反了，积分不但不会变简单，反而会越来越复杂。

【黄金口诀：反对幂三指】

在选择 $u$ 时，严格按照以下优先级的顺序，排在越前面的越优先当 $u$：

1. 反：反三角函数（如 $\arcsin x,\arctan x$）

2. 对：对数函数（如 $\ln x$）

3. 幂：幂函数/多项式（如 $x,x^2$）

4. 三：三角函数（如 $\sin x,\cos x$）

5. 指：指数函数（如 $e^x$）

• 为什么这么排？ 因为排在前面的函数极难积分，但极易求导，所以必须让它们当 $u$ 去求导（变成 $du$）；排在后面的函数积分很容易，适合当 $dv$ 去积分（变成 $v$）。

三、 实战演练：经典例题拆解

【例题】 求不定积分 $\int x{e}^{x}dx$

【解题步骤】

Step 1：利用口诀分配 $u$ 和 $dv$

观察被积函数：$x$ 是“幂”函数，$e^x$ 是“指”数函数。

根据“反对幂三指”，幂优先于指，所以：

令 $u=x$，剩下的全部留给 $dv$，即 $dv=e^{x}dx$。

Step 2：分别求导和积分，准备弹药

• 对 $u$ 求导得到 $du$：

  $du=dx$

• 对 $dv$ 积分得到 $v$：

  $v=\int e^{x}dx=e^x$

  (注意：求 $v$ 的时候不需要加常数 $C$)

Step 3：套用分部积分公式

将准备好的 $u,v,du,dv$ 代入公式 $\int udv=uv-\int vdu$：

$\int x{e}^{x}dx=x\cdot e^x-\int e^x\cdot dx$

Step 4：解决剩下的简单积分

此时，新积分 $\int e^{x}dx$ 已经是一个基本积分公式了，直接求解：

$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$

(最后一步千万别忘了加任意常数 $C$)

三、 牢记口诀：分部积分的“从一而终”

做指数函数与三角函数相乘的积分（$\int {\mathrm{e}}^{ax}\sin bx\mathrm{d}x$ 或 $\int {\mathrm{e}}^{ax}\cos bx\mathrm{d}x$）时，记住这个黄金铁律：

“角色分配，从一而终”

• 如果第一次你选择把 指数函数 凑进 $\mathrm{d}v$（对三角函数求导），第二次就必须继续把指数函数凑进 $\mathrm{d}v$（继续对三角函数求导）；

• 如果第一次你选择把 三角函数 凑进 $\mathrm{d}v$（对指数函数求导），第二次就必须继续把三角函数凑进 $\mathrm{d}v$（继续对指数函数求导）。

只要两次凑微分的对象（$v$ 的类型）保持一致，第二次必然会出现原式 $I$，移项就能秒杀！

方法一：换元法（推荐）

1. 变量代换与上下限同步更改：

   • 令 $t=\ln x$，则 $x={\mathrm{e}}^t$，导数 $\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t$。

   • 下限 $x=1⟹t=\ln 1=0$

   • 上限 $x=\mathrm{e}⟹t=\ln \mathrm{e}=1$

2. 改写积分并求解不定积分：

   ${\int }_1^{\mathrm{e}}\cos (\ln x)\mathrm{d}x={\int }_0^1{\mathrm{e}}^t\cos t\mathrm{d}t$

   先求不定积分 $I=\int {\mathrm{e}}^t\cos t\mathrm{d}t$（循环型分部积分）（两次都要以同一个作为V,比如e的x次方）：

   $I=\int \cos t\mathrm{d}({\mathrm{e}}^t)={\mathrm{e}}^t\cos t-\int {\mathrm{e}}^t\mathrm{d}(\cos t)={\mathrm{e}}^t\cos t+\int {\mathrm{e}}^t\sin t\mathrm{d}t$

   再次分部积分：

   $I={\mathrm{e}}^t\cos t+\int \sin t\mathrm{d}({\mathrm{e}}^t)={\mathrm{e}}^t\cos t+{\mathrm{e}}^t\sin t-\int {\mathrm{e}}^t\cos t\mathrm{d}t$

   注意到末项就是 $I$，移项得：

   $2I={\mathrm{e}}^t(\sin t+\cos t)⟹I=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^t(\sin t+\cos t)$

3. 代入上下限 $[0,1]$：

   ${\int }_0^1{\mathrm{e}}^t\cos t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^t(\sin t+\cos t)|{}_0^1$

   • 代上限 $t=1$：$\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^1(\sin 1+\cos 1)=\frac{\mathrm{e}(\sin 1+\cos 1)}{2}$

   • 代下限 $t=0$：$\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^0(\sin 0+\cos 0)=\frac{1}{2}(1\cdot 1)=\frac{1}{2}$

   最终结果：

   $\frac{\mathrm{e}(\sin 1+\cos 1)-1}{2}$

💡 考场高能防坑总结

• “无中生有”的 1：当遇到单个孤立的对数函数或反三角函数积分（例如 $\int \ln xdx$ 或 $\int \arctan xdx$）时，强行把它们看作是和 $1$ 相乘。令 $u=\ln x$，$dv=1\cdot dx$。

• 别忘了 $+C$：不定积分算到最后一步，一定要补上常数 $C$。

• 多次分部积分：如果遇到 $\int x^2{e}^{x}dx$，一次分部积分只能把 $x^2$ 降次为 $x$，必须再对剩下的积分使用第二次分部积分法，直到多项式彻底被求导消灭为止。