点火公式（Wallis 公式）与对称区间积分

是什么

用于快速计算 ==$[0,\frac{\pi }{2}]$== 上的 ${\sin }^{n}x$ 或 ${\cos }^{n}x$ 定积分的递推计算公式，常结合对称区间积分性质简化复杂被积函数。

公式 & 适用条件

1. 点火公式（Wallis 公式）

设 $I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx(n\in {\mathbb{N}}^{+})$：

• 当 $n$ 为 正偶数 时：

  $I_n=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}$

• 当 $n$ 为 正奇数 时：

  $I_n=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}\cdot 1$

• 适用条件：

  1. 积分上下限必须严格为 ==$[0,\frac{\pi }{2}]$==。

  2. 被积函数必须为纯粹的 ${\sin }^{n}x$ 或 ${\cos }^{n}x$。

  3. 若上下限不是 $[0,\frac{\pi }{2}]$（如 $[0,\pi ]$ 或 $[0,2\pi ]$），需先利用三角函数图像对称性化简为 $[0,\frac{\pi }{2}]$，不可直接套用。

2. 对称区间积分辅助公式（消去分母指数项）

${\int }_{-a}^a\frac{f(x)}{1+{\text{e}}^{-x}}dx={\int }_0^{a}f(x)dx(\text{其中 }f(x)\text{ 为偶函数})$

• 适用条件：

  1. 积分区间关于原点对称 $[-a,a]$。

  2. 被积函数分子（或主体部分）$f(x)$ 必须为 偶函数。

怎么用（解题步骤）

1. 观察区间与被积函数结构：

   • 看到对称区间 $[-a,a]$ 且含有 $\frac{1}{1+{\text{e}}^{\pm x}}$ 形式时，利用区间对称拆分性质消去非对称分母。

2. 化简为标准形式：

   • 将原式转化为 $2{\int }_0^a$ 或直接消项得到 ${\int }_0^{a}f(x)dx$。

3. 检查上下限与幂次：

   • 检查积分区间是否为 $[0,\frac{\pi }{2}]$，确认 $n$ 的奇偶性。

4. 套用点火公式并计算：

   • 偶数乘到最后乘以 ==$\frac{\pi }{2}$；奇数乘到最后乘以 $1$==。

例题

• 题目：

  $I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{4}x}{1+{\text{e}}^{-x}}dx$

• 解题过程：

  1. 积分区间 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 关于原点对称，利用对称区间性质化简：

     $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left[\frac{{\sin }^{4}x}{1+{\text{e}}^{-x}}+\frac{{\sin }^4(-x)}{1+{\text{e}}^{-(-x)}}\right]dx$

  2. 由于 ${\sin }^4(-x)={\sin }^{4}x$，通分化简消去指数项：

     $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}x\left[\frac{1}{1+{\text{e}}^{-x}}+\frac{{\text{e}}^{-x}}{1+{\text{e}}^{-x}}\right]dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}xdx$

  3. 套用 点火公式（$n=4$，为偶数）：

     $I=\frac{4-1}{4}\times \frac{4-3}{2}\times \frac{\pi }{2}=\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{16}$

• 结论：

  $I=\frac{3\pi }{16}$

⚠️ 易错点

Warning

• 末尾遗漏 $\frac{\pi }{2}$：当 $n$ 为偶数时，最末尾必须乘上 $\frac{\pi }{2}$；当 $n$ 为奇数时末尾是 $1$。切勿混淆两者的结尾因子。

• 区间未化简直接套公式：若题目给定 $[0,\pi ]$ 上的 ${\int }_0^{\pi }{\sin }^{4}xdx$，不能直接套公式，需先利用对称性转化为 $2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}xdx$ 再计算。

速记

• 口诀：==分母从 $n$ 往下减 $2$，分子从 $n-1$ 往下减 $2$，偶数乘 $\frac{\pi }{2}$，奇数乘 $1$==。