【总结笔记】导数与微分中值定理

【总结笔记】第二部分：导数与微分中值定理

本部分涵盖：泰勒展开式（含证明题用法）、导数定义逆向映射、导函数介值定理、一元函数零点个数判定、数列单调性四大技法、数学归纳法求最值、罗尔/费马/导数介值三大战法、柯西中值定理。

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一、泰勒公式——证明题用法（含拉格朗日余项）

1.1 在任意点 $x_0$ 展开（含余项）

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(\xi )}{n!}(x-x_0{)}^n$

其中 $\xi$ 是 $x$ 与 $x_0$ 之间的某一点（拉格朗日余项）。

证明题核心用法：把某点 $a$ 或 $b$ 处的函数值用泰勒展开，让余项含有 $f^{(n)}(\xi )$，从而引出中间点 $\xi$ 去证明结论。

1.2 泰勒展开三原则

1. 从里向外：先处理最核心的函数（如 $\cos$），再处理外层
2. 分母定阶：外层有除法（分母有 $x^k$），内层必须多展几阶防止抵消
3. 变量必须趋于 0：若 $x\to a$，令 $t=x-a$；若 $x\to \infty$，令 $t=1/x$

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二、导数定义的逆向映射

何时用：题目给出 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，或含有 $f^{\prime }(x_0)$ 的极限。

关键技巧：把复杂极限”凑”成导数定义的形式：

$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

泰勒复合展开：遇到复合形式如 $f(g(x))$，在 $g(x_0)=a$ 处展开，将抽象函数 $f$ 的值用导数逼近：

$f(g(x))\approx f(a)+f^{\prime }(a)(g(x)-a)$

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三、数列单调性的四大判定技法

方法	适用场景	操作
作差法	通用	计算 $x_{n+1}-x_n$，分析正负
作比法	正项数列	计算 $x_{n+1}/x_n$，与 1 比较
函数法	递推关系 $x_{n+1}=f(x_n)$	分析 $f(x)-x$ 的符号
数学归纳法	结论已知，逐步验证	奠基 → 假设 → 归纳

取极限规则：

• $x_{n+1}$ 和 $x_n$ 极限相同，都是 $A$
• 连续函数外层可穿透：$\lim f(x_n)=f(\lim x_n)=f(A)$
• 数列不能用洛必达（$n$ 是离散正整数）

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四、数学归纳法加求最值

标准三步框架：

1. 奠基：验证 $n=1$（或 $n=n_0$）时命题成立
2. 假设：假设 $n=k$ 时命题成立
3. 归纳：证明 $n=k+1$ 时命题也成立

结合求最值：若命题涉及不等式 $a_n\le M$，在归纳步骤中用 $a_k\le M$ 推出 $a_{k+1}\le M$，完成闭环。

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五、一元函数零点个数判定（万无一失）

流水线：

1. 求导 $f^{\prime }(x)$，找极值点（令 $f^{\prime }(x)=0$）
2. 列出单调区间，确定极值大小
3. 分析 $f(x)$ 在各区间端点（含 $\pm \infty$）的极限值
4. 利用零点定理：在每个极大值 $>0$、极小值 $<0$ 的区间确认有且仅有一个零点

判定口诀：函数从正变负（或从负变正）过一次 → 有且仅有一个零点。

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六、证明 $f^{\prime }(\xi )=0$ 的三大战法

战法一：罗尔定理——“找相等”

用法：构造辅助函数 $F(x)$，找到 $F(a)=F(b)$。

题眼：

• 两点函数值相等：$f(a)=f(b)$
• 积分等于零（原函数端点值相等）
• 题目要证的式子可逆向求导”凑”出 $F(x)$

三个条件（缺一不可）：

1. $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
2. $F(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导
3. $F(a)=F(b)$

结论：$\exists \xi \in (a,b)$，$F^{\prime }(\xi )=0$

战法二：费马定理——“找最值”

用法：证明某个内部点是极值点，从而导数为零。

题眼：题目给出不等式 $f(x)\ge f(x_0)$，或明确出现”最大值/最小值”。

关键：最值点必须在开区间内部（不能在端点），且函数在该点可导。

操作：闭区间连续 → 必有最值点 $\xi$ → 证明端点不取最值 → $\xi$ 在内部 → $f^{\prime }(\xi )=0$

战法三：导数介值定理（Darboux）——“找异号”

用法：已知导函数在两端点符号相反，直接得中间零点。

题眼：题目直接给出 $f^{\prime }(a)>0$ 且 $f^{\prime }(b)<0$（或反过来）。

条件：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上处处可导（不需要导函数连续）。

结论：$\exists \xi \in (a,b)$，$f^{\prime }(\xi )=0$

三大战法选择逻辑

能构造辅助函数使端点值相等？ → 用罗尔
端点不等，但有最值约束？ → 用费马
只知道导函数在端点的正负号？ → 用导数介值

广义罗尔（区间含无穷大时）

题眼：$f(0)={\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$，证明 $\exists \xi >0$，$f^{\prime }(\xi )=0$

操作（三步截断法）：

1. 找内部高点 $x_0$，使 $f(x_0)>0$
2. 由极限定义找 $M>x_0$，使 $x\ge M$ 时 $f(x)<f(x_0)/2$（“筑围墙”）
3. 在有限闭区间 $[0,M]$ 上用费马定理或罗尔定理

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七、柯西中值定理与施瓦茨积分不等式

柯西中值定理

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )},\xi \in (a,b)$

题眼：题目要证的结论含有 $\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$ 的形式，或需要把两个函数的差联系起来。

与拉格朗日的关系：令 $g(x)=x$ 即退化为拉格朗日中值定理。

构造辅助函数技巧：若要证 $\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=k$，构造 $F(x)=f(x)-k\cdot g(x)$，用罗尔定理。

施瓦茨积分不等式

${\left({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx\cdot {\int }_a^b{g}^2(x)dx$

题眼：积分式中有两个函数乘积的平方，需要放缩。

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八、导函数的介值定理

定理内容：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $f^{\prime }(a)\ne f^{\prime }(b)$，则对于 $f^{\prime }(a)$ 和 $f^{\prime }(b)$ 之间的任意值 $\mu$，$\exists \xi \in (a,b)$，使 $f^{\prime }(\xi )=\mu$。

重要推论：导函数没有第一类间断点（即导函数不可能有可去间断点或跳跃间断点）。

题眼：题目要证 $f^{\prime }(\xi )=c$，且 $c$ 介于两个端点导数值之间。

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九、高频易错汇总

错误	正确做法
罗尔定理忘写三个条件之一	连续、可导、端点相等，缺一不可
费马定理把端点当最值点	必须先证明最值在开区间内部
数列单调性用洛必达	数列 $n$ 离散，只能用代数方法
泰勒展开阶数不够（主项消失）	分母定阶，分子同阶，宁多不少
忘记泰勒中 $\xi$ 在 $x$ 与 $x_0$ 之间	$\xi$ 不是固定点，用夹逼确定其极限