一元函数零点个数万无一失判定法

函数零点个数判定

是什么

利用导数研究函数的单调性与极值（或最值），结合区间端点的极限/函数值，判定函数方程 $f(x)=0$ 的实根（零点）个数。

公式 & 适用条件

• 驻点与导数 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=0$

  • 适用条件：函数 $f(x)$ 在开区间内可导。若不满足可导性，不可导的点（尖点等）也可能是极值点，需单独讨论。

• 对数导数公式 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\frac{1}{x}$

  • 适用条件：定义域限定在 $x>0$。若忽略定义域限制，会导致求导和单调性区间分析范围错误。

怎么用（解题步骤）

1. 先确定定义域：观察原函数是否存在对数 $\ln x$、分母为 0 或根式等限制条件（如 $x>0$），确定定义域区间。
2. 求导找驻点：计算 $f^{\prime }(x)$，令 $f^{\prime }(x)=0$ 求出驻点，并划分单调区间。
3. 分析单调性与极值：根据 $f^{\prime }(x)$ 在各区间的正负确定函数的单调增减性，算出极值（最值）。
4. 结合极值/最值判零点：
   • 唯一极小值（最小值）$f(x_{\min })>0\Rightarrow$ 0个零点
   • 唯一极小值（最小值）$f(x_{\min })=0\Rightarrow$ 1个零点（切于 $x$ 轴）
   • 唯一极小值（最小值）$f(x_{\min })<0\Rightarrow$ 结合端点极限判断是否有 2个零点

例题

• 题目：设函数 $f(x)=x-\mathrm{e}\ln x$，则 $f(x)$ 的零点个数为（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
• 解题过程：
  1. 定义域为 $(0,+\infty )$。
  2. 对 $f(x)$ 求导： $f^{\prime }(x)=1-\frac{\mathrm{e}}{x}=\frac{x-\mathrm{e}}{x}$
  3. 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得驻点 $x=\mathrm{e}$。
     • 当 $x\in (0,\mathrm{e})$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
     • 当 $x\in (\mathrm{e},+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。
  4. 因此 $x=\mathrm{e}$ 是 $f(x)$ 在整个定义域上的最小值点。代入原函数求最小值： $f(\mathrm{e})=\mathrm{e}-\mathrm{e}\ln \mathrm{e}=0$
  5. 最小值等于 0，说明图像最低点踩在 $x$ 轴上，故零点只有 1 个。
• 结论：选 B

⚠️ 易错点

Warning

• 起手忽略定义域 $\to$ 看到 $\ln x$ 必须立刻标明 $x>0$，避免在 $x\le 0$ 的区域讨论。
• 混淆驻点与零点 $\to$ 驻点是使 $f^{\prime }(x)=0$ 的点，零点是使 $f(x)=0$ 的点。找到驻点后必须带回原函数 $f(x)$ 计算极值大小，不能直接用驻点个数当作零点个数。

速记

先看定义域，求导找极值；极小刚好零，零点就一个。