数列单调性判定的“四大必杀技”

核心动作：计算 $x_{n + 1} - x_{n}$ ，判断其与 $0$ 的大小关系。
- 若 $x_{n + 1} - x_{n} > 0 ⟹$ 单调递增。
- 若 $x_{n + 1} - x_{n} < 0 ⟹$ 单调递减。
适用场景：
1. 带有加减运算的递推公式。
2. 多项式、分式结构的数列。
考场破局技巧：

作差后往往无法一眼看出正负，必须配合以下变形手段：
- 分式：死磕通分，然后分子提取公因式转化为乘积形式判断正负。
- 根式：死磕分子/分母有理化。
- 超越函数：结合常见不等式替换（如 $sin x < x < tan x$ ， $ln (1 + x) < x$ 等）。

核心动作：计算 $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}}$ ，判断其与 $1$ 的大小关系。
- 【绝对前提】：必须先证明数列各项恒为正（ $x_{n} > 0$ ）！
- 若 $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} > 1 ⟹$ 单调递增。
- 若 $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} < 1 ⟹$ 单调递减。
适用场景：
1. 通项公式中含有阶乘（ $n!$ ）。
2. 通项公式中含有指数幂（ $a^{n}, n^{n}$ ）。
3. 长串的连乘积。
考场破局技巧：作商的唯一目的就是“大量约分”，把恐怖的连乘和阶乘消掉，最后往往只剩下一个极简的分式，直接与 1 比较即可。

核心动作：将离散的自然数 $n$ 替换为连续的实数变量 $x$ 。
1. 对于显式通项：设 $x_{n} = f (n)$ ，直接研究连续函数 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x)$ 。
  - 若 $f^{'} (x) > 0 ⟹ f (x)$ 单调增 $⟹ {x_{n}}$ 单调增。
2. 对于递推公式 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ ：研究迭代函数 $f (x)$ 。
  - 作差转换为： $x_{n + 1} - x_{n} = f (x_{n}) - x_{n}$ 。然后对辅助函数 $g (x) = f (x) - x$ 求导，判断 $g (x)$ 的正负。
适用场景：通项或递推式很容易写成连续函数，且带有对数 $ln$ 、指数 $e^{x}$ 、三角函数等超越函数时。
考场破局技巧：考研命题人极度偏爱这招。由于数列不能直接求导（离散的点没有切线），必须严谨地写出“构造辅助函数 $f (x)$ …”，完成从离散到连续的跨越后，再使用微积分工具。

核心动作：
1. 比较前两项：先算出 $x_{2}$ 和 $x_{1}$ 的大小关系（例如 $x_{2} > x_{1}$ ）。
2. 假设：假设第 $k$ 步成立（即 $x_{k + 1} > x_{k}$ ）。
3. 递推：结合递推公式 $x_{n + 1} = f (x_{n})$ ，证明第 $k + 1$ 步也成立（即证明 $x_{k + 2} > x_{k + 1}$ ）。
适用场景：
1. 隐式递推方程（例如上题的 $cos x_{n + 1} - x_{n + 1} = cos x_{n}$ ）。
2. 作差后代数变形极为困难，甚至无法化简的复杂显式递推。
考场破局技巧：在执行第 3 步（证明 $x_{k + 2} > x_{k + 1}$ ）时，往往需要配合外层函数 $f (x)$ 的单调性。
- 例如：已知 $x_{k + 1} > x_{k}$ ，且 $f (x)$ 是单调递增函数。
- 直接两边同时套上 $f ()$ ： $f (x_{k + 1}) > f (x_{k})$ 。
- 根据递推定义，瞬间得到 $x_{k + 2} > x_{k + 1}$ 。证明秒杀！

💡 终极战术总结：

拿到数列题，扫一眼长相：

有阶乘连乘 $\to$ 作商法；

能看出函数模型 $\to$ 求导法；

常规递推 $\to$ 作差法；

作差死活化简不出来 / 隐式递推 $\to$ 数学归纳法。常识结论：当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时，恒有 $tan x > x$ 。

Quartz 4