【总结笔记】定积分定理与应用

【总结笔记】第四部分：定积分定理与应用

本部分涵盖：牛顿-莱布尼茨公式、积分中值定理（基础版+推广版）、定积分放缩证明、定积分几何应用（面积/弧长/体积/侧面积）、通解与确定函数解析式。

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一、牛顿-莱布尼茨公式与莱布尼茨公式

1.1 牛顿-莱布尼茨公式

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

其中 $F^{\prime }(x)=f(x)$（$F$ 是 $f$ 的原函数）。

使用前提（两个铁律）：

1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续（若有奇点，转化为反常积分）
2. 原函数 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上处处可导且连续

经典陷阱： ${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx\ne {\left[-\frac{1}{x}\right]}_{-1}^1=-2\text{（错误！}x=0\text{处有无穷间断点，该积分发散）}$

1.2 桥梁公式（连接原函数与导数）

$f(x)=f(x_0)+{\int }_{x_0}^x{f}^{\prime }(t)dt$

何时用：题目给 $f^{\prime }(x)$ 的方程，要证 $f(x)$ 的性质（有界性、极限、不等式）。

标准三步走：

1. 定单调：由 $f^{\prime }(x)>0$（或 $<0$）确定 $f(x)$ 单调性 → 由初值锁定 $f(x)$ 的常数界
2. 放缩导数：用 $f(x)$ 的常数界替换导数表达式中的 $f(x)$，化为只含 $x$ 的式子
3. 积分还原：两边在 $[x_0,x]$ 积分，利用牛顿-莱布尼茨还原出 $f(x)$ 的范围，取极限

常见放缩目标（能积出固定极限的形式）：

• $\frac{1}{1+x^2}\to \arctan x\to \frac{\pi }{2}$
• $e^{-x}\to -e^{-x}\to 0$
• $\frac{1}{x^2}\to -\frac{1}{x}\to 0$

1.3 莱布尼茨公式（变限积分求导）

$\frac{d}{dx}{\int }_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt=f(b(x))\cdot b^{\prime }(x)-f(a(x))\cdot a^{\prime }(x)$

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二、积分中值定理（双面神技）

2.1 基础版——用于证明题（去积分化）

${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a),\xi \in [a,b]$

前提：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。

题眼：要证导数零点 $f^{\prime }(\xi )=0$，且已知条件中有定积分等式。

操作流程：

1. 用基础版”扒掉”积分号，得到 $f({\xi }_1)$ 的表达式
2. 与已知条件拼合，凑出辅助函数在两点值相等
3. 调用罗尔定理，得 $F^{\prime }(\xi )=0$

2.2 推广版（第一积分中值定理）——用于极限计算（分离变量）

${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=g(\xi ){\int }_a^{b}f(x)dx,\xi \in [a,b]$

前提：$f(x)$ 不变号，$f,g$ 均连续。

题眼：求极限时，极限变量 $x$ 既在上限又在被积函数里（变量纠缠）。

操作流程：

1. 找”捣乱项”$g(u)$（含极限变量 $x$ 的那一坨）
2. 用推广版移出积分号，引入中间点 $\xi$
3. 当 $x\to 0$ 时，$\xi$ 被夹在 $0$ 和 $x$ 之间，由夹逼知 $\xi \to 0$，移出项极限通常为常数 1
4. 剩余积分用洛必达或等价无穷小处理

2.3 $\xi =\theta (x)\cdot x$ 的含义

$\theta (x)\in (0,1)$ 表示中间点 $\xi$ 在 $[0,x]$ 中的相对位置。 当 $x\to 0$ 时，$\xi =\theta (x)\cdot x\to 0$（因为 $0<\theta <1$，$x\to 0$）。

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三、定积分放缩证明与导数不等式

核心思路： $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$

其中 $m=\min f(x)$，$M=\max f(x)$，$x\in [a,b]$。

常见招式：

• 区间分割：把积分拆成两段，各段用不同界放缩
• 函数单调性放缩：$f$ 单调递增时，$f(a)\le f(x)\le f(b)$
• 绝对值不等式：$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$

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四、定积分几何应用（公式速查）

4.1 面积公式

直角坐标： $S={\int }_a^b|f_1(x)-f_2(x)|dx\text{（上曲线减下曲线）}$

极坐标（$r=r(\theta )$）： $S={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{1}{2}|r_2^2(\theta )-r_1^2(\theta )|d\theta \text{（注意系数 }\frac{1}{2}\text{！）}$

参数方程（$x=x(t)$，$y=y(t)$）： $S={\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)\cdot x^{\prime }(t)|dt$

4.2 弧长公式

核心微元：$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$

直角坐标： $s={\int }_a^b\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$

极坐标： $s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$

参数方程： $s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$

4.3 旋转体体积公式

绕 $x$ 轴旋转（圆盘法）： $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$

绕 $y$ 轴旋转（壳法/圆柱壳）： $V=2\pi {\int }_a^{b}x|f(x)|dx$

两条曲线间绕 $x$ 轴： $V=\pi {\int }_a^b|[f_1(x){]}^2-[f_2(x){]}^2|dx\text{（注意：不是差的平方！）}$

4.4 旋转曲面侧面积

绕 $x$ 轴旋转： $A=2\pi {\int }_a^b|y|ds=2\pi {\int }_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

参数方程绕 $x$ 轴： $A=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)|\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$

4.5 选型速查

题目给什么	用什么坐标
$y=f(x)$	直角坐标
$r=r(\theta )$（心形线、玫瑰线）	极坐标
$x=x(t),y=y(t)$（星形线、摆线）	参数方程

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五、通解与确定函数解析式

5.1 含积分的函数方程

何时用：题目给出 $f(x)=g(x)+{\int }_a^{x}f(t)dt$ 或 $f(x)=g(x)+\lambda {\int }_a^{b}K(x,t)f(t)dt$

操作：

1. 对 $f(x)$ 的关系式两边求导，化为微分方程（ODE）
2. 解 ODE 得通解
3. 将通解代回原积分方程，利用初始条件（令 $x=a$）确定常数

关键：设 ${\int }_a^{b}f(t)dt=C$（常数），先以 $C$ 为未知数建立方程，解出 $C$。

5.2 含参积分（Frobenius 型）

若 $f(x)=p(x)+{\int }_a^{b}f(t)dt$ 中积分上下限均为常数：

1. 令 $A={\int }_a^{b}f(t)dt$（待定常数）
2. $f(x)=p(x)+A$
3. 对 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 积分，令结果等于 $A$，解出 $A$

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六、高频易错汇总

错误	正确做法
被积函数有奇点仍用 N-L 公式	先判断是否为反常积分，奇点处要分段讨论
极坐标面积漏掉 $\frac{1}{2}$	极坐标扇形面积有系数 $\frac{1}{2}$，必须写
两曲线旋转体体积写成 $(f_1-f_2{)}^2$	正确是 $f_1^2-f_2^2$（外圆减内圆）
旋转面积（侧面积）漏写 $2\pi$	旋转侧面积公式含 $2\pi$ 和弧长微元 $ds$
弧长忘写 $ds$ 表达式，直接写 $dx$	弧长 $ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$，不是 $dx$
积分中值定理忘说 $\xi \in [a,b]$	$\xi$ 的范围必须明确写出，否则扣分
含积分方程不求导直接凑	应两边求导化为 ODE，再解方程