牛顿-莱布尼茨公式与莱布尼茨公式

1. 桥梁公式：牛顿-莱布尼茨公式的变式（⭐⭐⭐⭐⭐）

求面积与定积分

$f(x)=f(x_0)+{\int }_{x_0}^x{f}^{\prime }(t)dt$

或者其等价形式：

$f(x)-f(x_0)={\int }_{x_0}^x{f}^{\prime }(t)dt$

在考研数学中，使用该公式必须同时满足以下两个核心条件：

1. 被积函数 $f(x)$ 在积分闭区间 $[a,b]$ 上连续

• 如果 $f(x)$ 在区间内存在奇点（无定义点/无穷间断点），不能直接套用该公式，必须转化为反常积分（广义积分）求极限。

• 如果存在第一类间断点（跳跃间断点/可去间断点），需要分段积分，不能跨过间断点直接一步套用原函数。

2. 原函数 $F(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上处处存在且可导，并满足 $F^{\prime }(x)=f(x)$

• $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上必须是连续且处处可导的函数。

• 如果找出的所谓“原函数”在区间内部不连续（例如分段求积分常数没有拼凑连续），直接代入两端点端值会导致计算错误。

典型翻车案例：

计算 ${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$：

• 错误做法：直接套用原函数 $-\frac{1}{x}$，算得 ${\left[-\frac{1}{x}\right]}_{-1}^1=-1-(1)=-2$。

• 错误原因：被积函数在 $x=0$ 处不连续（无穷奇点），违反了 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续的条件（该反常积分实际发散）。

一、莱布尼茨公式是什么？

对于两个 n 次可导 函数 $u(x)$ 和 $v(x)$，它们的乘积的 n 阶导数 为：

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}$$

其中：

• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是组合数（二项式系数）
• $u^{(k)}$ 表示 $u$ 的 k 阶导数
• $v^{(n-k)}$ 表示 $v$ 的 n-k 阶导数 其中k和n减k的位置可以互换 ，只要加起来为n即可

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二、展开形式（帮助理解）

把求和符号展开，看得更清楚：

n	展开式
1	$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
2	$(uv{)}^{\prime \prime }=u^{\prime \prime }v+2u^{\prime }{v}^{\prime }+u{v}^{\prime \prime }$
3	$(uv{)}^{\prime \prime \prime }=u^{\prime \prime \prime }v+3u^{\prime \prime }{v}^{\prime }+3u^{\prime }{v}^{\prime \prime }+u{v}^{\prime \prime \prime }$
n	$(uv{)}^{(n)}=u^{(n)}v+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})u^{(n-1)}{v}^{\prime }+\cdots +u{v}^{(n)}$

系数规律：正好是杨辉三角（二项式系数）。

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三、和二项式定理的对比（帮助记忆）

二项式定理	莱布尼茨公式
$(a+b{)}^n=\sum (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}$	$(uv{)}^{(n)}=\sum (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}$
对 幂次 分配	对 求导次数 分配
系数相同	系数相同

记忆口诀：莱布尼茨公式就是“乘法求导版的二项式定理”，把“幂次”换成“求导次数”即可。

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四、什么时候用莱布尼茨公式？

适用情况	原因
两个函数相乘，求高阶导	直接求导太繁琐
其中一个函数是多项式	多项式的高阶导会变成 0，项数减少
其中一个函数在目标点处有很多阶导为 0	大部分项消失，计算量大减
其中一个函数是 $(x-a{)}^n$ 型	只有最后一项留下（如例 4.3）

不适用：两个都是复杂函数，且没有特殊结构时，公式展开项数太多，反而麻烦。

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五、完整解题示例（例 4.3）

题目：设 $f(x)=(x^3-1{)}^n$，求 $f^{(n)}(1)$。

第一步：在 $x=1$ 附近分解：

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

所以：

$$f(x)=(x-1{)}^n\cdot (x^2+x+1{)}^n$$

令：

$$u(x)=(x-1{)}^n,v(x)=(x^2+x+1{)}^n$$

第二步：用莱布尼茨公式：

$$f^{(n)}(1)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)u^{(k)}(1)\cdot v^{(n-k)}(1)$$

第三步：分析 $u^{(k)}(1)$：

• 当 $k<n$ 时，$u^{(k)}(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)(x-1{)}^{n-k}$，代入 $x=1$ 得 0
• 当 $k=n$ 时，$u^{(n)}(x)=n!\cdot (x-1{)}^0=n!$

所以求和式中只剩下 $k=n$ 这一项：

$$f^{(n)}(1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)\cdot u^{(n)}(1)\cdot v^{(0)}(1)=1\cdot n!\cdot v(1)$$

第四步：计算 $v(1)$：

$$v(1)=(1^2+1+1{)}^n=3^n$$

答案：

$$\boxed{f^{(n)}(1)=3^n\cdot n!}$$

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六、⚠️ 最容易错的点（重点！）

❌ 错误 1：把 $v^{(0)}$ 当成 1

错误写法	正确写法
$v^{(0)}(1)=1$	$v^{(0)}(1)=v(1)$

原因：$v^{(0)}$ 表示“求 0 次导”，意思是“不求导”，结果就是原函数本身。这和 $(x-1{)}^0=1$ 完全不是一回事！

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❌ 错误 2：把 $(x-1{)}^0$ 当成 $x-1$

错误写法	正确写法
$(x-1{)}^0=x-1$	$(x-1{)}^0=1$

原因：任何非零数的 0 次方都等于 1。$(x-1{)}^0$ 表示“这个因子已经不存在了”，用 1 表示空乘。

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❌ 错误 3：忘记 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=1$

求和式中 $k=n$ 这一项的组合数是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=1$，不是 $n!$ 或其他数。

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❌ 错误 4：混淆“求导次数”和“幂次”

写法	含义
$u^{(k)}$	求导 k 次
$u^k$	u 的 k 次方

两者完全不同，不能混淆。

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❌ 错误 5：忽略 $u^{(k)}(1)=0$ 的适用条件

只有当 $u(x)=(x-a{)}^n$ 且 $k<n$ 时，才有 $u^{(k)}(a)=0$。如果 $u$ 是其他函数，不能直接套用这个结论。

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七、零阶导数和零次幂的对比表（重点记忆）

表达式	含义	结果	原因
$v^{(0)}(x)$	对 v 求 0 次导	$v(x)$	不求导，原样保留
$(x-1{)}^0$	(x-1) 的 0 次幂	$1$	指数运算规则
$0!$	0 的阶乘	$1$	空乘积的约定
$u^{(0)}(x)$	求 0 次导	$u(x)$	同 v

核心区别：$v^{(0)}$ 中的 0 是“求导次数”，$(x-1{)}^0$ 中的 0 是“指数”。它们只是写法相似，意义完全不同。

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八、什么时候只有一项留下？（例 4.3 的技巧）

如果 $u(x)=(x-a{)}^n$，则：

$$u^{(k)}(a)=\{\begin{array}{ll}0,& k<n\\ n!,& k=n\end{array}$$

所以在莱布尼茨求和中，只有 $k=n$ 这一项非零，结果为：

$$(uv{)}^{(n)}(a)=n!\cdot v(a)$$

适用条件：$u(x)$ 必须是 $(x-a{)}^n$ 这种“n 重根”形式。

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九、莱布尼茨公式的证明思路（了解即可）

用数学归纳法：

1. 验证 n=1 时成立：$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
2. 假设 n 时成立，对等式两边再求一次导
3. 利用组合数恒等式 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}\right)$ 合并同类项
4. 得到 n+1 时也成立

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十、总结一句话

莱布尼茨公式 = 二项式定理的求导版，核心是“把 n 次求导按组合数分配给两个函数”。使用时要注意：$v^{(0)}=v$（不是 1），且当遇到 $(x-a{)}^n$ 时，只有 $k=n$ 那一项能活下来。

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这份笔记在 Obsidian 中应该能完美显示。如果还有哪条公式显示不正常，告诉我具体是哪条，我再单独调整！